立方体の色塗り問題 — 白と黒の個数の差
下図は、白黒2色の小立方体を積み上げたものである。 白い小立方体どうしと黒い小立方体どうしが互いに面で接していないものとすると、 白い小立方体と黒い小立方体の個数の差として、正しいのはどれか。
上の問題文を読んでみましょう。白と黒の立方体が混ざって積まれており、同じ色どうしは面で接していない という条件があります。この条件から、白と黒の個数の差を求めます。
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立方体の色塗り問題 — 解法ステップ
白黒2色の小立方体を積み上げた立体で、「同色どうしは面で接しない」という条件から白と黒の個数の差を求める問題です。公務員試験・中学受験・高校入試の空間把握問題として頻出。3次元の市松模様的な色配置を見抜き、各段を系統的に数え上げる力を養います。
Step 1: 問題の条件を整理しよう
この問題の条件は 2 つ。①「白と黒の立方体が混ざって積まれている」、②「同じ色どうしは面で接していない」。 つまり、ある白い立方体に面で触れている立方体はすべて黒、黒に触れているのはすべて白、という決まりです。 選択肢は 1〜5 個の 5 つから選びます。この条件だけで、白と黒の個数は一意に決まります。
Step 2: 3次元の市松模様を発見
2 次元のチェス盤 (将棋盤) を思い出してください。黒と白のマスが交互に並び、同じ色が隣り合うことはありません。 この問題は同じ原理の 3次元版の市松模様。ある立方体を白と決めると、その 6 つの面に触れる立方体は全て黒、 さらにその隣は全て白…と連鎖して全立方体の色が一意に決まります。色を入れ替えても形は同じなので、 白と黒の個数の差は 立体の形だけで決まる という重要な性質があります。
Step 3: まずは最下段 (5段目) を数える
数えやすい最下段から始めます。5段目は底面で、上から見ると 20 個 の立方体が敷き詰められています。 内訳は 白 12 個・黒 8 個。この段だけで白が 4 個多いことがわかります (12 − 8 = 4)。 市松模様の基準がこの段で決まるので、ここが一番大事です。
Step 4: 4段目・3段目を積み上げ
次に 4 段目と 3 段目を加えます。4段目 (18個) は白 9・黒 9 でちょうど同数 (差なし)。 3段目 (16個) は白 7・黒 9 で黒が 2 個多い。 3 段分の累計は、白 12+9+7 = 28 個、黒 8+9+9 = 26 個。差は 2 個 (白が 2 個多い)。
Step 5: 2段目・1段目 (最上段) を加える
最後に上 2 段を加えます。2段目 (12個) は白 8・黒 4 で白が 4 個多い。1段目 (最上段、7個) は白 2・黒 5 で黒が 3 個多い。 全 5 段を合わせた累計は、白 38 個、黒 35 個。総立方体数は 38+35 = 73 個。
Step 6: 答え: 白 − 黒 = 3 個
全立方体を数えた結果、白 38 個、黒 35 個。差は 38 − 35 = 3 個。選択肢「3. 3個」が正解です。 解法ポイント: (1) 「同色が接しない」→ 3 次元市松模様、(2) 最下段から段ごとに白黒を数える、 (3) 累計して差を計算。立体の形が対称的であっても、白と黒の個数は完全に同じにならず、 わずかな差 (今回は 3 個) が生じることがこの問題の本質です。